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2013年高三数学二轮复*课件 第二讲 数列的通项公式与数列求和

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第二讲

数列的通项公式与数列求和

1.累加法求通项:形如 an+1-an=f(n). an+1 2.累乘法求通项:形如 =f(n). an 3.构造法:形如:an+1=pan+q.
?S1(n=1), 4.已知 Sn 求 an,即 an=? ?Sn-Sn-1(n≥2).

? [例1]

(2012年高考广东卷)设数列{an}的 前n项和为Sn ,数列{Sn}的前n项和为Tn , 满足Tn=2Sn-n2,n∈N*. ? (1)求a1的值; ? (2)求数列{an}的通项公式. ? [解析] (1)当n=1时,T1=2S1-12. ? 因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,解得a1 =1. ? (2)当n≥2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn -(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1, -1 ? 所以Sn=2Sn-1+2n-1,①

②-①得 an+1=2an+2. an+1+2 所以 an+1+2=2(an+2),即 =2(n≥2). an+2 a2+2 当 n=1 时,a1+2=3,a2+2=6,则 =2,所以当 n=1 时也 a1+2 满足上式.所以{an+2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an+ 2=3·n-1,所以 an=3·n-1-2. 2 2

? 数列{an}中,a1 =1,对所有的n≥2,都有

a1·a2·a3·…·an =n2 ,数列{an}的通项公式 为________. ? 解析:由题意,当n≥2时, ? a1·a2·a3·…·an=n2,① ? 故当n=2时,有a1·a2=22=4, ? 又因为a1=1,所以a2=4.

故当 n≥3 时, 有 a1·2·3· an-1=(n-1)2,② a a …· ① n2 由 ,得 an= . ② (n-1)2 而当 n=1 时,a1=1,不满足上式,n=2 时,满足上式.

?1(n=1), ? 所以数列{an}的通项公式为 an=? n2 ?(n-1)2(n≥2). ?

?1 (n=1) ? 答案:? n2 ?(n-1)2 (n≥2) ?

? 数列求和的方法技巧 ? (1)转化法

? 有些数列,既不是等差数列,也不是等比

数列,若将数列通项拆开或变形,可转化

为几个等差、等比数列或常见的数列,即
先分别求和,然后再合并;
? (2)错位相减法
? 这是在推导等比数列的前n项和公式时所

? [例2]

(2012年高考浙江卷)已知数列{an} 的前n项和为Sn ,且Sn =2n2 +n,n∈N* , 数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*. ? (1)求an,bn; ? (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. ? [解析] (1) 由Sn=2n2+n,得 ? 当n=1时,a1=S1=3; ? 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1. ? 所以an=4n-1,n∈N*. ? 由4n-1=an =4log2bn +3,得bn =2n-1 ,
*

? (2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*,

? 所 以 Tn = 3 + 7×2 + 11×22 + … + (4n -

1)·2n-1, ? 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n -1)·2n, ? 所以2Tn -Tn =(4n-1)2n -[3+4(2+22 +… +2n-1)] ? =(4n-5)2n+5. ? 故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.

? (2012年高考课标全国卷)数列{an}满足an+1

+(-1)nan =2n-1,则{an}的前60项和为 (
? A.3 ? C.1

) 690 845 B.3 660 D.1 830

? 解析:利用数列的递推式的意义结合等差
15× (10+234) +a58+a59+a60)=10+26+42+…+234= =1 830. 2

∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57

数列求和公式求解.

? ∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴a2 =1+a1 , 答案:D

1.数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等知识. 2.数列的单调性的判断方法: (1)作差:an+1-an 与 0 的关系; an+1 (2)作商: 与 1 的关系. an [例 3] (2012 年高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn =an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 3 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1 a2 an 2

[解析] (1)∵a1,a2+5,a3 成等差数列, ∴2(a2+5)=a1+a3. 又 2Sn=an+1-2n 1+1, ∴2S1=a2-22+1,2S2=a3-23+1, ∴2a1=a2-3,2(a1+a2)=a3-7.


?2(a2+5)=a1+a3, ?a1=1, ? ? 由?2a1=a2-3, 得?a2=5,∴a1=1. ?2(a1+a2)=a3-7 ?a3=19. ? ?
(2)∵2Sn=an+1-2n 1+1,① ∴当 n≥2 时,2Sn-1=an-2n+1.② ①-②得 2an=an+1-an-2n 1+2n,
+ +

∴an+1=3an+2n.

两边同除以 2

n+1

an+1 3 an 1 得 n+1= ·n+ , 22 2 2

an+1 3 an ∴ n+1+1= ( n+1). 22 2 a2 3 a1 an 3 3 又由(1)知 2+1= ( 1+1),∴数列{ n+1}是以 为首项, 为公比的 2 22 2 2 2 等比数列, an 3 3 3 ∴ n+1= · )n-1=( )n,∴an=3n-2n, ( 2 2 2 2 即数列{an}的通项公式为 an=3n-2n. (3)证明:∵an=3n-2n=(1+2)n-2n =C0 ·n·0+C1 ·n-1·1+C2 ·n-2·2+…+Cn·0·n-2n 2 2 n1 2 n1 n1 n1 2 =1+2n+2(n2-n)+…+2n-2n >1+2n+2(n2-n)=1+2n2>2n2>2n(n-1),

1 1 1 1 1 ∴ = n n< = · , an 3 -2 2n(n-1) 2 n(n-1) 1 1 1 ∴ + +…+ a1 a2 an 1 1 1 1 <1+ [ + +…+ ] 2 1× 2× 2 3 n(n-1) 1 1 1 1 1 1 =1+ (1- + - +…+ - ) 2 2 2 3 n-1 n 1 1 3 1 3 =1+ (1- )= - < , 2 n 2 2n 2 1 1 1 3 即 + +…+ < . a1 a2 an 2

(2012 年 北 京 东 城 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = an-1 an= (n≥2,n∈N). (-1)nan-1-2 1 (1)试判断数列{ +(-1)n}是否为等比数列,并说明理由; an (2)设 cn=ansin 2 意的 n∈N*,Tn< . 3

1 , 4

(2n-1)π ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn.求证:对任 2

an-1 解析:(1)由 an= 得 (-1)nan-1-2
n 1 (-1) an-1-2 2 n = =(-1) - , an an-1 an-1

1 2 所以 +(-1)n=2· (-1)n- an an-1 =-2[ +(-1)n-1]. an-1 1 又 -1=3≠0, a1 1 故数列{ +(-1)n}是首项为 3,公比为-2 的等比数列. an 1

1 (2)证明:由(1)得 +(-1)n=3· (-2)n-1. an 1 所以 =3· (-2)n-1-(-1)n, an 1 an= , -1 3· (-2)n -(-1)n 所以 cn=ansin = 1 3· 2
n-1

(2n-1)π 1 n-1 = n- 1 n(-1) 2 3· (-2) -(-1)

1 < n-1. +1 3· 2

1 1 [1-( )n] 3 2 2 1 2 所以 Tn< = [1-( )n]< . 1 3 2 3 1- 2

? 【真题】

(2012年高考湖南卷)某公司一 下属企业从事某种高科技产品的生产.该 企业第一年年初有资金2 000万元,将其投 入生产,到当年年底资金增长了50%.预计 以后每年资金年增长率与第一年的相 同.公司要求企业从第一年开始,每年年 底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投 入下一年生产.设第n年年底企业上缴资 金后的剩余资金为an万元.

【解析】 (1)由题意得 a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d, 3 5 a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4500- d. 2 2 3 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2 3 33 (2)由(1)得 an= an-1-d= ( an-2-d)-d 2 22 3 3 =( )2an-2- d-d 2 2 =… 3 n-1 3 32 3 n-2 =( ) a1-d[1+ +( ) +…+( ) ]. 2 2 2 2

3 - 3 - 整理得 an=( )n 1(3 000-d)-2d[( )n 1-1] 2 2 3 - =( )n 1(3 000-3d)+2d. 2 由题意,知 am=4 000, 3 - 即( )m 1(3 000-3d)+2d=4 000, 2 3 m [( ) -2]× 000 1 000(3m-2m+1) 1 2 解得 d= = . 3 m 3m-2m ( ) -1 2 1 000(3m-2m 1) 即该企业每年上缴资金 d 的值为 时, 经过 m(m≥3) 3m-2m 年企业的剩余资金为 4 000 万元.


? 【名师点睛】

本题考查利用递推数列求 通项的方法,考查综合利用数列知识分析 解决实际问题的能力,难度较大,解答本 题的关键是求出递推关系an+1=an-d,并 变形求an.

? 高考对数列的通项与求和的考查多以解答

题形式出现,主要考查an与Sn的关系,以 及错位相减求和、裂项求和及分组转化求 和,难度中档偏上.

?x>0, ? 【押题】 在*面直角坐标系中,设不等式组 ?y≥0, ?y≤-2n(x-3) ?
(n∈N*)表示的*面区域为 Dn, Dn 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数 记 的点)的个数为 an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn+1=2bn+an,b1=-13.求证:数列{bn+6n+9}是等比数列, 并求出数列{bn}的通项公式.

?x>0, ? 【解析】 (1)由?y≥0, 得 0<x≤3, ?y≤-2n(x-3) ?
所以*面区域为 Dn 内的整点为点(3,0)或在直线 x=1 和 x=2 上. 直线 y=-2n(x-3)与直线 x=1 和 x=2 交点纵坐标分别为 y1=4n 和 y2=2n,Dn 内在直线 x=1 和 x=2 上的整点个数分别为 4n+1 和 2n +1, ∴an=4n+1+2n+1+1=6n+3.

(2)由bn+1=2bn+an得bn+1=2bn+6n+3, ∴bn+1+6(n+1)+9=2(bn+6n+9), ∵b1+6×1+9=2, ∴{bn+6n+9}是以2为首项,公比为2的等比数列, ∴bn+6n+9=2n, ∴bn=2n-6n-9.

本小节结束
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