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2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程课件6 苏教版选修1-1_图文


抛物线的标准方程

一、回忆抛物线的定义:
平面内,到一个定点F和 H 一条定直线l (F不在l上)的距 离相等的点的轨迹叫抛物线.

点F 叫抛物线的焦点

l

直线l 叫抛物线的准线 准线

P



·F



二、求抛物线的标准方程
1. 建系.

y

H

P(x,y)

过F作直线F N ⊥ l ,垂足为N .以F N o F x
N所在的直线 为x轴,线段F N的中垂 线为y轴,建立如图的直角坐标系xoy. l

2.设点.

设焦点F到准线 l的距离为p,则F

?? ?

p 2

,0

?? ?

,l方程为x

?

?

p 2

设P(x,y)为抛物线上任意一点,作PH ⊥ l ,垂足为H.

3.列式 PF=PH 即 (x?p)2?y2 ?x?p

2

2

4.化简 y2?2p?x p?0?

三、标准方程

方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方程.

y

p的几何意义是: 焦点到准线的距离 H

P(x,y)

焦点坐标是 ( p , 0 ) ,

2p

No F x

准线方程为: x ? ?

2

l

想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也

﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程的形式简洁

y

y

y?

ox

ox o x

y
o
x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

图形
ly
OF x

标准方程 焦点坐标 准线方程

y2=2px (p>0)

(p 2

,0)

x??p 2

yl
FO

y2=-2px x (p>0)

(? p ,0) 2

x?p 2

y

F
O

x2=2py x (p>0)
l

( 0,p ) 2

y??p 2

y

O F

l
x

x2=-2py ( 0,? p )

(p>0)

2

y? p 2

例1 求抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标和准线方程。 解: 由题意得 2p=4,? p ? 2 ? p ? 1
2
所以抛物线焦点坐标是(1,0) 准线方程是x=-1.

练习:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程。

焦点坐标 准线方程

(1) y2 ??32x ( ? 8 , 0 )

x?8

(2) y2 ?42x (3) x2 ??32y

(21 ,0) 2
(0, ?8)

x ? ? 21 2
y?8

(4) y ?2x2

(0,1 )

8

(5) y?ax2(a?0) ( 0 , 1 ) 4a

y??1 8
y?? 1 4a

例2.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是F(0,-2)
解:设抛物线的标准方程为 x2=-2py(p>0)
由题意得 p ? 2 ? p ? 4
2
所以抛物线的标准方程为 x 2 ? ?8 y

例2.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (2)准线方程为 x=1
解:设抛物线的标准方程为
y2=-2px(p>0)
? p ? 1 ?p?2 2
所以抛物线的标准方程为 y 2 ? ?4 x

例2.求满足下列条件的抛物线的标准方程。

(3)过P(-2,-4)

解:因为点P在第三象限,所以抛物线的开口方向 只能是向左或向下,故设抛物线的标准方程是 y2
= -2p1x(p1>0)或 x2 =-2p2 y(p2>0),

将P的坐标分别代入上述方程,

解得p1

?4,p2

?1 2

所以抛物线的标准方程为 y2??8x和 x2??y

练习:求满足下列条件的抛物线的标准方程。

(1)焦点为(-5,0)

(2)准线方程是

y

?

?

1 4

(3)过P(-3,2)

(4)焦点到准线的距离为5

(5)抛物线的焦点与双曲线16x2?9y2 ?144
的一个焦点相同

课堂小结
1 抛物线的定义 2 抛物线的四种标准方程及其焦点、准线
3 注重数形结合的思想
4 注重分类讨论的思想

作业
活页作业: 抛物线的标准方程
思考题: 已知点P在抛物线y2=2x上, (1)若点P的横坐标为2,求点P到抛物线焦点的距离; (2)点P到抛物线焦点的距离为4,求点P的坐标



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