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北师大版最新中考数学模拟试卷(含答案) (128)


四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个选项符合题目要求. 1.(3 分)﹣2 的倒数是( ) A.﹣ B. C.2 D.﹣2 2.(3 分)随着经济发展,人民的生活水平不断提高,旅游业快速增长,2016 年国民出境旅游超过 120 000 000 人次,将 120 000 000 用科学记数法表示为 () A.1.2×109B.12×107 C.0.12×109 D.1.2×108 3.(3 分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

4.(3 分)含 30°角的直角三角板与直线 l1、l2 的位置关系如图所示,已知 l1∥l2, ∠ACD=∠A,则∠1=( )

A.70° B.60° C.40° D.30° 5.(3 分)下列说法正确的是( ) A.打开电视,它正在播广告是必然事件 B.要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查 C.在抽样调查过程中,样本容量越大,对总体的估计就越准确 D.甲、乙两人射中环数的方差分别为 S 甲 2=2,S 乙 2=4,说明乙的射击成绩比甲 稳定
1

6.(3 分)若 a2﹣ab=0(b≠0),则 =( )
A.0 B. C.0 或 D.1 或 2
7.(3 分)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,他了解到 这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25 米,BD=1.5 米,且 AB、CD 与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红 计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )

A.2 米 B.2.5 米 C.2.4 米 D.2.1 米 8.(3 分)已知 x+ =3,则下列三个等式:①x2+ =7,②x﹣

,③2x2﹣6x=

﹣2 中,正确的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 9.(3 分)已知二次函数 y=x2﹣2mx(m 为常数),当﹣1≤x≤2 时,函数值 y 的 最小值为﹣2,则 m 的值是( ) A. B. C. 或 D. 或

10.(3 分)如图,平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA、OC 分别落在 x、 y 轴上,点 B 坐标为(6,4),反比例函数 y= 的图象与 AB 边交于点 D,与 BC

边交于点 E,连结 DE,将△BDE 沿 DE 翻折至△B'DE 处,点 B'恰好落在正比例函 数 y=kx 图象上,则 k 的值是( )

A. B. C. D.
2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.

11.(3 分)3﹣2=



12.(3 分)二元一次方程组 = =x+2 的解是



13.(3 分)如图,直线 a、b 垂直相交于点 O,曲线 C 关于点 O 成中心对称,点

A 的对称点是点 A',AB⊥a 于点 B,A'D⊥b 于点 D.若 OB=3,OD=2,则阴影部

分的面积之和为



14.(3 分)点 A、B、C 在格点图中的位置如图 5 所示,格点小正方形的边长为

1,则点 C 到线段 AB 所在直线的距离是



15.(3 分)庄子说:“一尺之椎,日取其半,万世不竭”.这句话(文字语言)表 达了古人将事物无限分割的思想,用图形语言表示为图 1,按此图分割的方法, 可得到一个等式(符号语言):1= + + +…+ +….

图 2 也是一种无限分割:在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,过点 C 作 CC1⊥AB 于

点 C1,再过点 C1 作 C1C2⊥BC 于点 C2,又过点 C2 作 C2C3⊥AB 于点 C3,如此无限

继续下去,则可将利△ABC 分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△

Cn﹣2Cn﹣1Cn、….假设 AC=2,这些三角形的面积和可以得到一个等式是



16.(3 分)对于函数 y=xn+xm,我们定义 y'=nxn﹣1+mxm﹣1(m、n 为常数).

3

例如 y=x4+x2,则 y'=4x3+2x. 已知:y= x3+(m﹣1)x2+m2x.

(1)若方程 y′=0 有两个相等实数根,则 m 的值为



(2)若方程 y′=m﹣ 有两个正数根,则 m 的取值范围为



三、本大题共 3 小题,每小题 9 分,共 27 分. 17.(9 分)计算:2sni60°+|1﹣ |+20170﹣ .

18.(9 分)求不等式组

的所有整数解.

19.(9 分)如图,延长?ABCD 的边 AD 到 F,使 DF=DC,延长 CB 到点 E,使 BE=BA, 分别连结点 A、E 和 C、F.求证:AE=CF.

四、本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分.

20.(10 分)化简:(



)÷ .

21.(10 分)为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况,随机抽查了

部分参赛学生的成绩,整理并制作出如下的统计表和统计图,如图所示.请根据

图表信息解答下列问题:

组别

分数段(分)

频数

频率

A组

60≤x<70

30

0.1

B组

70≤x<80

90

n

C组

80≤x<90

m

0.4

D组

90≤x<100

60

0.2

(1)在表中:m=

,n=



(2)补全频数分布直方图;

4

(3)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数,据此推断他的成绩在 组; (4)4 个小组每组推荐 1 人,然后从 4 人中随机抽取 2 人参加颁奖典礼,恰好 抽中 A、C 两组学生的概率是多少?并列表或画树状图说明.
22.(10 分)如图,在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE,在地面观测点 A 处测得屋顶 C 与树梢 D 的仰角分别是 45°与 60°,∠CAD=60°,在屋顶 C 处测得∠ DCA=90°.若房屋的高 BC=6 米,求树高 DE 的长度.

五、本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.

23.(10 分)某公司从 2014 年开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品

的成本不断降低,具体数据如下表:

年度

2013

2014

2015

2016

投入技改资金 x(万元) 2.5

3

4

4.5

产品成本 y(万元/件)

7.2

6

4.5

4

(1)请你认真分析表中数据,从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表

示其变化规律,给出理由,并求出其解析式;

(2)按照这种变化规律,若 2017 年已投入资金 5 万元.

5

①预计生产成本每件比 2016 年降低多少万元? ②若打算在 2017 年把每件产品成本降低到 3.2 万元,则还需要投入技改资金多 少万元?(结果精确到 0.01 万元). 24.(10 分)如图,以 AB 边为直径的⊙O 经过点 P,C 是⊙O 上一点,连结 PC 交 AB 于点 E,且∠ACP=60°,PA=PD. (1)试判断 PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若点 C 是弧 AB 的中点,已知 AB=4,求 CE?CP 的值.
六、本大题共 2 小题,第 25 题 12 分,第 26 题 13 分,共 25 分. 25.(12 分)在四边形 ABCD 中,∠B+∠D=180°,对角线 AC 平分∠BAD. (1)如图 1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数 量关系并说明理由. (2)如图 2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,(1)中的结论是否成立?请说 明理由. (3)如图 3,若∠DAB=90°,探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理 由.
26.(13 分)如图 1,抛物线 C1:y=x2+ax 与 C2:y=﹣x2+bx 相交于点 O、C,C1 与 C2 分别交 x 轴于点 B、A,且 B 为线段 AO 的中点. (1)求 的值;
6

(2)若 OC⊥AC,求△OAC 的面积; (3)抛物线 C2 的对称轴为 l,顶点为 M,在(2)的条件下: ①点 P 为抛物线 C2 对称轴 l 上一动点,当△PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; ②如图 2,点 E 在抛物线 C2 上点 O 与点 M 之间运动,四边形 OBCE 的面积是否 存在最大值?若存在,求出面积的最大值和点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.
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2017 年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个选项符合题目要求. 1.(3 分)(2017?乐山)﹣2 的倒数是( ) A.﹣ B. C.2 D.﹣2 【分析】根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答. 【解答】解:∵(﹣2)×(﹣ )=1, ∴﹣2 的倒数是﹣ . 故选 A. 【点评】本题考查了倒数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
2.(3 分)(2017?乐山)随着经济发展,人民的生活水平不断提高,旅游业快速 增长,2016 年国民出境旅游超过 120 000 000 人次,将 120 000 000 用科学记数 法表示为( ) A.1.2×109B.12×107 C.0.12×109 D.1.2×108 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a×10n,其中 1≤|a|<10, n 为整数,据此判断即可. 【解答】解:120 000 000=1.2×108. 故选:D. 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为 a×10n,其中 1≤|a|<10,确定 a 与 n 的值是解题的关键.
3.(3 分)(2017?乐山)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ()
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A.

B.

C.

D.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;

B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;

C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;

D、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确.

故选 D.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻

找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转

180 度后两部分重合.

4.(3 分)(2017?乐山)含 30°角的直角三角板与直线 l1、l2 的位置关系如图所示, 已知 l1∥l2,∠ACD=∠A,则∠1=( )

A.70° B.60° C.40° D.30° 【分析】先根据三角形外角性质得到∠CDB 的度数,再根据平行线的性质,即可 得到∠1 的度数. 【解答】解:∵∠ACD=∠A=30°, ∴∠CDB=∠A+∠ACD=60°, ∵l1∥l2, ∴∠1=∠CDB=60°, 故选:B. 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解题时注意:
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两直线平行,内错角相等.
5.(3 分)(2017?乐山)下列说法正确的是( ) A.打开电视,它正在播广告是必然事件 B.要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查 C.在抽样调查过程中,样本容量越大,对总体的估计就越准确 D.甲、乙两人射中环数的方差分别为 S 甲 2=2,S 乙 2=4,说明乙的射击成绩比甲 稳定 【分析】根据随机事件的概念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质判断即 可. 【解答】解:A、打开电视,它正在播广告是随机事件,A 错误; B、要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查,B 错误; C、在抽样调查过程中,样本容量越大,对总体的估计就越准确,C 正确; D、甲、乙两人射中环数的方差分别为 S 甲 2=2,S 乙 2=4,说明甲的射击成绩比乙 稳定,D 错误; 故选:C. 【点评】本题考查的是随机事件、全面调查和抽样调查、方差,掌握随机事件的 概念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质是解题的关键.
6.(3 分)(2017?乐山)若 a2﹣ab=0(b≠0),则 =( )
A.0 B. C.0 或 D.1 或 2 【分析】首先求出 a=0 或 a=b,进而求出分式的值. 【解答】解:∵a2﹣ab=0(b≠0), ∴a=0 或 a=b, 当 a=0 时, =0.
当 a=b 时, = , 故选 C. 【点评】本题主要考查了分式的值,解题的关键是要注意题目有两个答案,容易
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漏掉值为 0 的情况.
7.(3 分)(2017?乐山)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游 玩,他了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的, AB=CD=0.25 米,BD=1.5 米,且 AB、CD 与水平地面都是垂直的.根据以上数据, 请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )
A.2 米 B.2.5 米 C.2.4 米 D.2.1 米 【分析】连接 OF,交 AC 于点 E,设圆 O 的半径为 R 米,根据勾股定理列出方程, 解方程即可. 【解答】解:连接 OF,交 AC 于点 E, ∵BD 是⊙O 的切线, ∴OF⊥BD, ∵四边形 ABDC 是矩形, ∴AC∥BD, ∴OE⊥AC,EF=AB, 设圆 O 的半径为 R,在 Rt△AOE 中,AE= = =0.75 米, OE=R﹣AB=R﹣0.25, ∵AE2+OE2=OA2, ∴0.752+(R﹣0.25)2=R2, 解得 R=1.25. 1.25×2=2.5(米). 答:这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 2.5 米. 故选:B.
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【点评】本题考查的是垂径定理的应用,掌握平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦是解题的关键,注意勾股定理的灵活运用.

8.(3 分)(2017?乐山)已知 x+ =3,则下列三个等式:①x2+ =7,②x﹣



③2x2﹣6x=﹣2 中,正确的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【分析】将 x+ =3 两边同时平方,然后通过恒等变形可对①作出判断,由 x﹣ =

±

可对②作出判断,方程 2x2﹣6x=﹣2 两边同时除以 2x,然后再通过

恒等变形可对③作出判断. 【解答】解:∵x+ =3, ∴(x+ )2=9,整理得:x2+ =7,故①正确.

x﹣ =±

=± ,故②错误.

方程 2x2﹣6x=﹣2 两边同时除以 2x 得:x﹣3=﹣ ,整理得:x+ =3,故③正确.
故选:C. 【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式是解题 的关键.

9.(3 分)(2017?乐山)已知二次函数 y=x2﹣2mx(m 为常数),当﹣1≤x≤2 时, 函数值 y 的最小值为﹣2,则 m 的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 【分析】将二次函数配方成顶点式,分 m<﹣1、m>2 和﹣1≤m≤2 三种情况, 根据 y 的最小值为﹣2,结合二次函数的性质求解可得. 【解答】解:y=x2﹣2mx=(x﹣m)2﹣m2,
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①若 m<﹣1,当 x=﹣1 时,y=1+2m=﹣2, 解得:m=﹣ ; ②若 m>2,当 x=2 时,y=4﹣4m=﹣2, 解得:m= <2(舍); ③若﹣1≤m≤2,当 x=m 时,y=﹣m2=﹣2, 解得:m= 或 m=﹣ <﹣1(舍), ∴m 的值为﹣ 或 , 故选:D. 【点评】本题主要考查二次函数的最值,根据二次函数的增减性分类讨论是解题 的关键.
10.(3 分)(2017?乐山)如图,平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA、 OC 分别落在 x、y 轴上,点 B 坐标为(6,4),反比例函数 y= 的图象与 AB 边交 于点 D,与 BC 边交于点 E,连结 DE,将△BDE 沿 DE 翻折至△B'DE 处,点 B'恰 好落在正比例函数 y=kx 图象上,则 k 的值是( )

A. B. C. D.

【分析】根据矩形的性质得到,CB∥x 轴,AB∥y 轴,于是得到 D(6,1),E( ,

4),根据勾股定理得到 ED=

=

,连接 BB′,交 ED 于 F,过 B′作 B′G

⊥BC 于 G,根据轴对称的性质得到 BF=B′F,BB′⊥ED 求得 BB′= ,设 EG=x,

则 BG= ﹣x 根据勾股定理即可得到结论. 【解答】解:∵矩形 OABC,

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∴CB∥x 轴,AB∥y 轴, ∵点 B 坐标为(6,4), ∴D 的横坐标为 6,E 的纵坐标为 4, ∵D,E 在反比例函数 y= 的图象上,

∴D(6,1),E( ,4),

∴BE=6﹣ = ,BD=4﹣1=3,

∴ED=

=



连接 BB′,交 ED 于 F,过 B′作 B′G⊥BC 于 G,

∵B,B′关于 ED 对称,

∴BF=B′F,BB′⊥ED,

∴BF?ED=BE?BD,



BF=3× ,

∴BF= ,

∴BB′= ,

设 EG=x,则 BG= ﹣x, ∵BB′2﹣BG2=B′G2=EB′2﹣GE2, ∴( )2﹣( ﹣x)2=( )2﹣x2,

∴x= ,

∴EG= ,

∴CG= ,

∴B′G= ,

∴B′( ,﹣ ),

∴k=﹣ . 故选 B.

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【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),矩形的性质,勾股定理,熟练掌握 折叠的性质是解题的关键.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.

11.(3 分)(2017?乐山)3﹣2=



【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算. 【解答】解:原式= = .

故答案为: . 【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算,先把底数化成其倒数,然后将负整 数指数幂当成正的进行计算.

12.(3 分)(2017?乐山)二元一次方程组 = =x+2 的解是



【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案.

【解答】解:原方程可化为:



化简为



解得:



故答案为:



【点评】本题考查二元一次方程的解法,解题的关键是将原方程化为方程组,本 题属于基础题型.

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13.(3 分)(2017?乐山)如图,直线 a、b 垂直相交于点 O,曲线 C 关于点 O 成 中心对称,点 A 的对称点是点 A',AB⊥a 于点 B,A'D⊥b 于点 D.若 OB=3,OD=2, 则阴影部分的面积之和为 6 .

【分析】根据中心对称图形的概念,以及长方形的面积公式即可解答. 【解答】解:∵直线 a、b 垂直相交于点 O,曲线 C 关于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 A',AB⊥a 于点 B,A'D⊥b 于点 D,OB=3,OD=2, ∴AB=2, ∴阴影部分的面积之和为 3×2=6. 故答案为:6. 【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念:在同一平面内, 如果把一个图形绕某一点旋转 180 度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么 这个图形就叫做中心对称图形.

14.(3 分)(2017?乐山)点 A、B、C 在格点图中的位置如图 5 所示,格点小正

方形的边长为 1,则点 C 到线段 AB 所在直线的距离是



【分析】连接 AC,BC,设点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 h,利用勾股定理求 出 AB 的长,利用三角形的面积公式即可得出结论. 【解答】解:连接 AC,BC,设点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 h, ∵ S △ ABC=3× 3 ﹣ × 2×1 ﹣ × 2 ×1 ﹣ × 3 ×3﹣ 1=9﹣ 1﹣ 1 ﹣ ﹣ 1= ,

AB=

=,

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∴ × h= , ∴h= . 故答案为: .
【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长 的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键. 15.(3 分)(2017?乐山)庄子说:“一尺之椎,日取其半,万世不竭”.这句话 (文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想,用图形语言表示为图 1,按此 图分割的方法,可得到一个等式(符号语言):1= + + +…+ +….

图 2 也是一种无限分割:在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,过点 C 作 CC1⊥AB 于

点 C1,再过点 C1 作 C1C2⊥BC 于点 C2,又过点 C2 作 C2C3⊥AB 于点 C3,如此无限

继续下去,则可将利△ABC 分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△

Cn ﹣ 2Cn ﹣ 1Cn 、 … . 假 设 AC=2 , 这 些 三 角 形 的 面 积 和 可 以 得 到 一 个 等 式 是

2=



【分析】先根据 AC=2,∠B=30°,CC1⊥AB,求得 S△ACC1= ;进而得到

=

×,

= ×( )2,

= ×( )3,根据规律可知

= ×( )n﹣1,再根据 S△ABC= AC×BC= ×2×2 =2 ,即可 得到等式. 【解答】解:如图 2,∵AC=2,∠B=30°,CC1⊥AB,

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∴Rt△ACC1 中,∠ACC1=30°,且 BC=2 , ∴AC1= AC=1,CC1= AC1= ,

∴S△ACC1= ?AC1?CC1= ×1× = ; ∵C1C2⊥BC, ∴∠CC1C2=∠ACC1=30°, ∴CC2= CC1= ,C1C2= CC2= ,



= ?CC2?C1C2= × × = × ,

同理可得,

= ×( )2,

= ×( )3,





= ×( )n﹣1,

又∵S△ABC= AC×BC= ×2×2 =2 ,

∴2 = + × + ×( )2+ ×( )3+…+ ×( )n﹣1+…

∴2 =



故答案为:2 =



【点评】本题主要考查了图形的变化类问题,解决问题的关键是找出图形哪些部 分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接 利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题.
16.(3 分)(2017?乐山)对于函数 y=xn+xm,我们定义 y'=nxn﹣1+mxm﹣1(m、n 为 常数).
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例如 y=x4+x2,则 y'=4x3+2x. 已知:y= x3+(m﹣1)x2+m2x.

(1)若方程 y′=0 有两个相等实数根,则 m 的值为



(2)若方程 y′=m﹣ 有两个正数根,则 m 的取值范围为





【分析】根据新定义得到 y′= x3+(m﹣1)x2+m2=x2+2(m﹣1)x+m2,
(1)由判别式等于 0,解方程即可; (2)根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论. 【解答】解:根据题意得 y′=x2+2(m﹣1)x+m2, (1)∵方程 x2﹣2(m﹣1)x+m2=0 有两个相等实数根, ∴△=[﹣2(m﹣1)]2﹣4m2=0, 解得:m= ,

故答案为: ;

(2)y′=m﹣ ,即 x2+2(m﹣1)x+m2=m﹣ ,

化简得:x2+2(m﹣1)x+m2﹣m+ =0, ∵方程有两个正数根,





解得: 且 . 故答案为: 且 . 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点,根的判别式,根与系数的关系,正确 的理解题意是解题的关键.
三、本大题共 3 小题,每小题 9 分,共 27 分. 17.(9 分)(2017?乐山)计算:2sni60°+|1﹣ |+20170﹣ . 【分析】首先计算乘方、开方和乘法,然后从左向右依次计算,求出算式的值是
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多少即可. 【解答】解:2sni60°+|1﹣ |+20170﹣ =2× + ﹣1+1﹣3
=﹣ 【点评】此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确: 在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方, 再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右 的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

18.(9 分)(2017?乐山)求不等式组

的所有整数解.

【分析】先求出不等式组的解集,再求出不等式组的整数解即可.

【解答】解:

解不等式①得:x>1, 解不等式②得:x≤4, 所以,不等式组的解集为 1<x≤4, 故不等式组的整数解为 2,3,4. 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解,能根据不等式的 解集找出不等式组的解集是解此题的关键.

19.(9 分)(2017?乐山)如图,延长?ABCD 的边 AD 到 F,使 DF=DC,延长 CB 到点 E,使 BE=BA,分别连结点 A、E 和 C、F.求证:AE=CF.

【分析】根据平行四边形的性质可得 AD=BC,AD∥BC,再证出 BE=DF,得出 AF=EC, 进而可得四边形 AECF 是平行四边形,从而可得 AE=CF. 【解答】证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
20

∴AD=BC,AD∥BC, ∴AF∥EC, ∵DF=DC,BE=BA, ∴BE=DF, ∴AF=EC, ∴四边形 AECF 是平行四边形, ∴AE=CF. 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定,关键是掌握平行四边形对边 平行且相等,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

四、本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分.

20.(10 分)(2017?乐山)化简:(



)÷ .

【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题.

【解答】解:(



)÷

= = = = =. 【点评】本题考查分式的混合运算,解答本题的关键是明确分式的混合运算的计 算方法.

21.(10 分)(2017?乐山)为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况,

随机抽查了部分参赛学生的成绩,整理并制作出如下的统计表和统计图,如图所

示.请根据图表信息解答下列问题:

组别

分数段(分)

频数

频率

21

A组

60≤x<70

30

0.1

B组

70≤x<80

90

n

C组

80≤x<90

m

0.4

D组

90≤x<100

60

0.2

(1)在表中:m= 120 ,n= 0.3 ;

(2)补全频数分布直方图;

(3)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数,据此推断他的成绩在 C 组;

(4)4 个小组每组推荐 1 人,然后从 4 人中随机抽取 2 人参加颁奖典礼,恰好

抽中 A、C 两组学生的概率是多少?并列表或画树状图说明.

【分析】(1)先根据 A 组频数及其频率求得总人数,再根据频率=频数÷总人数 可得 m、n 的值; (2)根据(1)中所求结果即可补全频数分布直方图; (3)根据中位数的定义即可求解; (4)画树状图列出所有等可能结果,再找到抽中 A、C 的结果,根据概率公式 求解可得. 【解答】解:(1)∵本次调查的总人数为 30÷0.1=300(人), ∴m=300×0.4=120,n=90÷300=0.3, 故答案为:120,0.3;
(2)补全频数分布直方图如下:
22

(3)由于共有 300 个数据,则其中位数为第 150、151 个数据的平均数, 而第 150、151 个数据的平均数均落在 C 组, ∴据此推断他的成绩在 C 组, 故答案为:C;
(4)画树状图如下:
由树状图可知,共有 12 种等可能结果,其中抽中 A﹑C 两组同学的有 2 种结果, ∴抽中 A﹑C 两组同学的概率为 = . 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用 统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和 解决问题,也考查列表法或画树状图法求概率. 22.(10 分)(2017?乐山)如图,在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE,在 地面观测点 A 处测得屋顶 C 与树梢 D 的仰角分别是 45°与 60°,∠CAD=60°,在屋 顶 C 处测得∠DCA=90°.若房屋的高 BC=6 米,求树高 DE 的长度.
23

【分析】首先解直角三角形求得表示出 AC,AD 的长,进而利用直角三角函数,

求出答案.

【解答】解:如图 3,在 Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=6m,



(m);

在 Rt△ACD 中,∠CAD=60°,



(m);

在 Rt△DEA 中,∠EAD=60°,



答:树 DE 的高为 米.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,熟练应用锐角三角函数关系是解 题关键.

五、本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.

23.(10 分)(2017?乐山)某公司从 2014 年开始投入技术改进资金,经技术改

进后,其产品的成本不断降低,具体数据如下表:

年度

2013

2014

2015

2016

投入技改资金 x(万元) 2.5

3

4

4.5

24

产品成本 y(万元/件)

7.2

6

4.5

4

(1)请你认真分析表中数据,从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表

示其变化规律,给出理由,并求出其解析式;

(2)按照这种变化规律,若 2017 年已投入资金 5 万元.

①预计生产成本每件比 2016 年降低多少万元?

②若打算在 2017 年把每件产品成本降低到 3.2 万元,则还需要投入技改资金多

少万元?(结果精确到 0.01 万元).

【分析】(1)根据实际题意和数据特点分情况求解,根据排除法可知其为反比例

函数,利用待定系数法求解即可;

(2)①直接把 x=5 万元代入函数解析式即可求解;

②直接把 y=3.2 万元代入函数解析式即可求解;

【解答】解:(1)设其为一次函数,解析式为 y=kx+b,

当 x=2.5 时,y=7.2;当 x=3 时,y=6,





解得 k=﹣2.4,b=13.2 ∴一次函数解析式为 y=﹣2.4x+13.2 把 x=4 时,y=4.5 代入此函数解析式, 左边≠右边. ∴其不是一次函数. 同理.其也不是二次函数. 设其为反比例函数.解析式为 y= .

当 x=2.5 时,y=7.2,可得:7.2= ,

解得 k=18 ∴反比例函数是 y= .

验证:当 x=3 时,y= =6,符合反比例函数.

同理可验证 x=4 时,y=4.5,x=4.5 时,y=4 成立. 可用反比例函数 y= 表示其变化规律.

25

(2)①当 x=5 万元时,y=3.6. 4﹣3.6=0.4(万元), ∴生产成本每件比 2016 年降低 0.4 万元. ②当 y=3.2 万元时,3.2= ,
∴x=5.625, ∴5.625﹣5=1.125≈0.63(万元) ∴还约需投入 0.63 万元. 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函 数关系式,从实际意义中找到对应的变量的值,利用待定系数法求出函数解析式, 再根据自变量的值求算对应的函数值.要注意用排除法确定函数的类型.
24.(10 分)(2017?乐山)如图,以 AB 边为直径的⊙O 经过点 P,C 是⊙O 上一 点,连结 PC 交 AB 于点 E,且∠ACP=60°,PA=PD. (1)试判断 PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若点 C 是弧 AB 的中点,已知 AB=4,求 CE?CP 的值.

【分析】(1)连结 OP,根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°,然后计算出

∠PAD 和∠D 的度数,进而可得∠OPD=90°,从而证明 PD 是⊙O 的切线;

(2)连结 BC,首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,然后可得 AC 长,再证明△

CAE∽△CPA,进而可得

,然后可得 CE?CP 的值.

【解答】解:(1)如图,PD 是⊙O 的切线. 证明如下: 连结 OP, ∵∠ACP=60°, ∴∠AOP=120°,

26

∵OA=OP, ∴∠OAP=∠OPA=30°, ∵PA=PD, ∴∠PAO=∠D=30°, ∴∠OPD=90°, ∴PD 是⊙O 的切线.

(2)连结 BC,

∵AB 是⊙O 的直径,

∴∠ACB=90°,

又∵C 为弧 AB 的中点,

∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,

∵AB=4,



∵∠C=∠C,∠CAB=∠APC,

∴△CAE∽△CPA,





∴CP?CE=CA2=(2 )2=8.

【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定,关键是掌握切 线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理.
六、本大题共 2 小题,第 25 题 12 分,第 26 题 13 分,共 25 分. 25.(12 分)(2017?乐山)在四边形 ABCD 中,∠B+∠D=180°,对角线 AC 平分 ∠BAD. (1)如图 1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数
27

量关系并说明理由. (2)如图 2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,(1)中的结论是否成立?请说 明理由. (3)如图 3,若∠DAB=90°,探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理 由.

【分析】(1)结论:AC=AD+AB,只要证明 AD= AC,AB= AC 即可解决问题;

(2)(1)中的结论成立.以 C 为顶点,AC 为一边作∠ACE=60°,∠ACE 的另一

边交 AB 延长线于点 E,只要证明△DAC≌△BEC 即可解决问题;

(3)结论:

.过点 C 作 CE⊥AC 交 AB 的延长线于点 E,只要证明△

ACE 是等腰直角三角形,△DAC≌△BEC 即可解决问题;

【解答】解:(1)AC=AD+AB.

理由如下:如图 1 中,

在四边形 ABCD 中,∠D+∠B=180°,∠B=90°,

∴∠D=90°,

∵∠DAB=120°,AC 平分∠DAB,

∴∠DAC=∠BAC=60°,

∵∠B=90°,



,同理



28

∴AC=AD+AB.
(2)(1)中的结论成立,理由如下:以 C 为顶点,AC 为一边作∠ACE=60°,∠ ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E,

∵∠BAC=60°, ∴△AEC 为等边三角形, ∴AC=AE=CE, ∵∠D+∠B=180°,∠DAB=120°, ∴∠DCB=60°, ∴∠DCA=∠BCE, ∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠EBC=180°, ∴∠D=∠CBE,∵CA=CB, ∴△DAC≌△BEC, ∴AD=BE, ∴AC=AD+AB.

(3)结论:

.理由如下:

过点 C 作 CE⊥AC 交 AB 的延长线于点 E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°,

∴DCB=90°,
29

∵∠ACE=90°,

∴∠DCA=∠BCE,

又∵AC 平分∠DAB,

∴∠CAB=45°,

∴∠E=45°.

∴AC=CE.

又∵∠D+∠B=180°,∠D=∠CBE,

∴△CDA≌△CBE,

∴AD=BE,

∴AD+AB=AE.

在 Rt△ACE 中,∠CAB=45°,









【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和

性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构

造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

26.(13 分)(2017?乐山)如图 1,抛物线 C1:y=x2+ax 与 C2:y=﹣x2+bx 相交于 点 O、C,C1 与 C2 分别交 x 轴于点 B、A,且 B 为线段 AO 的中点. (1)求 的值;
(2)若 OC⊥AC,求△OAC 的面积; (3)抛物线 C2 的对称轴为 l,顶点为 M,在(2)的条件下: ①点 P 为抛物线 C2 对称轴 l 上一动点,当△PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; ②如图 2,点 E 在抛物线 C2 上点 O 与点 M 之间运动,四边形 OBCE 的面积是否 存在最大值?若存在,求出面积的最大值和点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

30

【分析】(1)由两抛物线解析式可分别用 a 和 b 表示出 A、B 两点的坐标,利用

B 为 OA 的中点可得到 a 和 b 之间的关系式;

(2)由抛物线解析式可先求得 C 点坐标,过 C 作 CD⊥x 轴于点 D,可证得△OCD

∽△CAD,由相似三角形的性质可得到关于 a 的方程,可求得 OA 和 CD 的长,可

求得△OAC 的面积;

(3)①连接 OC 与 l 的交点即为满足条件的点 P,可求得 OC 的解析式,则可求

得 P 点坐标;

②设出 E 点坐标,则可表示出△EOB 的面积,过点 E 作 x 轴的平行线交直线 BC

于点 N,可先求得 BC 的解析式,则可表示出 EN 的长,进一步可表示出△EBC 的

面积,则可表示出四边形 OBCE 的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值,

及 E 点的坐标.

【解答】解:

(1)在 y=x2+ax 中,当 y=0 时,x2+ax=0,x1=0,x2=﹣a, ∴B(﹣a,0),

在 y=﹣x2+bx 中,当 y=0 时,﹣x2+bx=0,x1=0,x2=b, ∴A(0,b),

∵B 为 OA 的中点,

∴b=﹣2a,





(2)联立两抛物线解析式可得

x1=0,



,消去 y 整理可得 2x2+3ax=0,解得

31



时,







过 C 作 CD⊥x 轴于点 D,如图 1,





∵∠OCA=90°,

∴△OCD∽△CAD,





∴CD2=AD?OD,即

∴a1=0(舍去),





(舍去), ,

, ,





(3)①抛物线 ∴其对称轴

, ,

点 A 关于 l2 的对称点为 O(0,0),



则 P 为直线 OC 与 l2 的交点, 设 OC 的解析式为 y=kx,



,得



∴OC 的解析式为



32



时, ,





②设













设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,



,解得



∴直线 BC 的解析式为



过点 E 作 x 轴的平行线交直线 BC 于点 N,如图 2,



,即 x=



∴EN=







S







OBCE=S



OBE+S



EBC=

=







∴当

时,





时,



33







【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、相似三角形的判定和性 质、轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识.在(1) 中分别表示出 A、B 的坐标是解题的关键,在(2)中求得 C 点坐标,利用相似 三角形的性质求得 a 的值是解题的关键,在(3)①中确定出 P 点的位置是解题 的关键,在(3)②中用 E 点坐标分别表示出△OBE 和△EBC 的面积是解题的关 键.本题考查知识点较多,综合性较强,计算量较大,难度较大.

34



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